题目内容

某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）．
（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；
（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2．
表1：
生产能力分组 [100，110] [110，120] [120，130] [130，140] [140，150]
人数 4 8 x 5 3
表2：
生产能力分组 [110，120] [120，130] [130，140] [140，150]
人数 6 y 36 18
（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
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（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
分析：（1）每个工人被抽到的概率均为
1
10
，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率利用独立事件的概率求解即可．
（Ⅱ）（i）A类、B类工人人数之比为250：750=1：3，按此比例确定两类工人需抽取的人数，再算出x和y即可．
画出频率分布直方图，从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小 
（ii）取每个小矩形的横坐标的中点乘以对应矩形的面积相加即得平均数．
解答：解：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为
1
10
，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为w．w.p=
1
10
×
1
10
=
1
100
．
 （Ⅱ）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名．
故4+8+x+5=25，得x=5，6+y+36+18=75，得y=5．
从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小．
（ii）
.
xA
=
4
25
×105+
8
25
×115+
5
25
×125+
5
25
×135+
3
25
×145=123，
.
xB
=
6
75
×115+
15
75
×125+
36
75
×135+
18
75
×145=133.8
.
x
=
25
100
×123+
75
100
×133.8=133.1
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为123，133.8和131.1．
点评：本题考查等可能时间、相互独立事件的概率、频率分布直方图的理解以及利用频率分布直方图求平均数等知识、考查运算能力．
练习册系列答案
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某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）．现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）．
（1）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；
（2）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2．
表1：
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表2：
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①先确定x、y，再完成频率分布直方图，就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
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②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）．现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2
表1：
生产能力分组 [100，110） [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）
人数 4 8 x 5 3
表2：
生产能力分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）
人数 6 y 36 18
（1）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）（注意：本题请在答题卡上作图）
（2）分别估计A类工人和B类工人生产能力的众数、中位数和平均数．（精确到0.1）
某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）．现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．
（Ⅰ）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？
（Ⅱ）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2
表1：
生产能力分组 [100，110） [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）
人数 4 8 x 5 3
表2：
生产能力分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）
人数     6     y     36     18
先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人）另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）．现用分层抽样的方法（按A类、B类分两层）从该工厂的工人中抽取100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）．从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果如下表1和表2．
表1
生产能力分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）
人数 8 x 3 2
表2
生产能力分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）
人数 6 y 27 18
（Ⅰ）先确定x、y的值，再补齐下列频率分布直方图．

（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“工人的生产能力与工人的类别有关”？
生产能力分组 [110，130） [130，150） 合计
A类工人
B类工人
合计
附：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥k） 0，05 0.025 0.01 0.005
k 3.841 5.024 6.635 7.879

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