Question

设α．β是方程x²-2kx+k+6=0的实根，则（α-1）²+（β-1）²的最小值是（　　）

• A．-

  49

  4

• B．8
• C．14
• D．18

Answer 1

分析：由题意可得△=4k²-4（k+6）≥0，解出k的范围，利用一元二次方程根与系数的关系求出α+β 和α•β 的值，把
（α-1）²+（β-1）² 化简变形为4(k-

3

4

)2-

49

4

，再根据k的范围利用二次函数的性质求出它的最小值．

解答：解：∵α、β是方程x²-2kx+k+6=0的实根，∴△=4k²-4（k+6）≥0，
解得 k≤-2，或k≥3．
由一元二次方程根与系数的关系可得  α+β=2k，α•β=k+6．
故 （α-1）²+（β-1）² =α²+β²-2（α+β）+2=（α+β）²-2（α+β）-2α•β+2
=4k²-2×2k-2（k+6）+2=4(k-

3

4

)2-

49

4

．
故当k=3时，（α-1）²+（β-1）² 有最小值为8，
故选C．

点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质的应用，属于基础题．