Question

已知函数y=

kx2-6kx+k+8

的值域为[0，+∞），则k的取值范围是

k≥1

．

Answer 1

分析：根据根式函数的值域为[0，+∞），则[0，+∞）⊆{y|y=kx²-6kx+k+8}，然后确立对应判别式△≥0（k≠0），即可求解k的取值范围．

解答：解：∵函数y=

kx2-6kx+k+8

的值域为[0，+∞），
∴[0，+∞）⊆{y|y=kx²-6kx+k+8}，
若k=0，则函数y=kx²-6kx+k+8=8，此时函数y=

kx2-6kx+k+8

=

8

，不满足值域是[0，+∞）．
若k＞0，则△≥0，
即△=36k²-4k（k+8）≥0，
即k²-k≥0，解得k≥1或k≤0．
∴k≥1．
若k＜0，则函数y=

kx2-6kx+k+8

的值域不会是[0，+∞），
∴k＜0，不成立．
故k的取值范围是k≥1．
故答案为：k≥1．

点评：本题主要考查函数值域的应用，根据函数的值域转化为二次函数的取值问题是解决本题的关键，注意要对进行分类讨论．