Question

14．已知函数$f（x）=4x+\frac{a}{x}+b$，（a，b∈R）为奇函数．
（1）求b值；
（2）当a=-2时，存在x₀∈[1，4]使得不等式f（x₀）≤t成立，求实数t的取值范围；
（3）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2^x）-c（c∈R）在区间（-∞，-1]上至多有一个零点．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可得到结论．
（2）根据函数单调性和最值的关系进行求解即可，
（3）根据函数单调性的定义先判断函数的单调性，利用函数单调性和函数零点之间的关系进行证明．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=4x+\frac{a}{x}+b$，（a，b∈R）为奇函数
∴f（-x）=-f（x），即-4x-$\frac{a}{x}$+b=-4x-$\frac{a}{x}$-b，（a，b∈R，…（3分）
∴b=-b，即b=0；…（5分）
（2）当a=-2时，f（x）=4x-$\frac{2}{x}$．…（6分）
∵函数y=4x，y=-$\frac{2}{x}$在[1，4]均单调递增，…（7分）
∴函数f（x）在[1，4]单调递增，…（8分）
∴当x∈[1，4]时，f（x）_min=f（1）=2…（9分）
∵存在x₀∈[1，4]使得不等式f（x₀）≤t成立
∴t≥2． …（10分）
（3）证明：g（x）=f（2^x）-c=4•2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$-c，…（11分）
设x₁＜x₂≤-1，$g（{x_1}）-g（{x_2}）=\frac{{（4•{2^{{x_1}+{x_2}}}-a）（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{{2^{{x_1}+{x_2}}}}}$…（12分）

∵x₁＜x₂≤-1，
∴x₁+x₂＜-2，$4•{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜4•2^-2=1，
∵a≥1，即-a≤-1，
∴$4•{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$-a＜0，又${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{1}}$＜0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴函数g（x）在（-∞，-1]单调递减，…（14分）
又c∈R，结合函数图象知函数g（x）在（-∞，-1]上至多有一个零点．…（16分）

点评 本题主要考查函数奇偶性的定义和单调性的应用，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．