题目内容
已知函数f（x）的定义域为[-2，4]，且f（4）=f（-2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（ ）| A、2 | B、4 | C、5 | D、8 |
分析：根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、b满足的条件，画出平面区域，即可求解．
解答：
解：由图可知[-2，0）上f′（x）＜0，
∴函数f（x）在[-2，0）上单调递减，（0，4]上f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，4]上单调递增，
故在[-2，4]上，f（x）的最大值为f（4）=f（-2）=1，
∴f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）?
表示的平面区域如图所示：
故选B．
解：由图可知[-2，0）上f′（x）＜0，∴函数f（x）在[-2，0）上单调递减，（0，4]上f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，4]上单调递增，
故在[-2，4]上，f（x）的最大值为f（4）=f（-2）=1，
∴f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）?
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表示的平面区域如图所示：
故选B．
点评：本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题．解决时要注意数形结合思想应用．
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