Question

16．已知函数f（x）=x²e^kx．
（Ⅰ）当k=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）=$\frac{ax}{1+{x}^{2}}$+2（a＞0），且对于任意的x₁，x₂∈[0，2]，均有g（x₁）≥f（x₂）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出k=1时f（x）的导数，求得切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）“对任意的x₁，x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立”等价于“当a＞0时，对任意的x₁，x₂∈[0，2]，g_min（x）≥f_max（x）成立”，求得g（x）在[0，2]上的最小值，再求f（x）的导数，对k讨论，结合单调性，求得最大值，解不等式即可得到．

解答 解：（1）当k=1时，f（x）=x²e^x．的导数为f′（x）=（x²+2x）e^x，
f（1）=e，切线的斜率为f′（1）=3e，
即有切线方程为y-e=3e（x-1），即3ex-y-2e=0；
（2）“任意的x₁，x₂∈[0，2]，均有g（x₁）≥f（x₂）恒成立”
等价于“当a＞0时，对任意的x₁，x₂∈[0，2]，g_min（x）≥f_max（x）成立”，
当a＞0时，函数g（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
而g（0）=2，g（2）=$\frac{2a}{5}$+2，所以g（x）的最小值为g（0）=2，
f（x）的导数f′（x）=2xe^kx+x²e^kx•k=（kx²+2x）e^kx，
当k=0时，f（x）=x²，x∈[0，2]时，f_max（x）=f（2）=4，显然不满足f_max（x）≤1，
当k≠0时，令f′（x）=0得，x₁=0，x₂=-$\frac{2}{k}$，
①当-$\frac{2}{k}$≥2，即-1≤k≤0时，在[0，2]上f′（x）≥0，所以f（x）在[0，2]单调递增，
所以f_max（x）=f（2）=4e^2k，只需4e^2k≤1，得k≤-ln2，所以-1≤k≤-ln2；
②当0＜-$\frac{2}{k}$＜2，即k＜-1时，在[0，-$\frac{2}{k}$]，f（x）单调递增，
在[-$\frac{2}{k}$，2]，f（x）单调递减，所以f_max（x）=f（-$\frac{2}{k}$）=$\frac{4}{{k}^{2}{e}^{2}}$，
只需$\frac{4}{{k}^{2}{e}^{2}}$≤1，得k≤-$\frac{2}{e}$，所以k＜-1；
③当-$\frac{2}{k}$＜0，即k＞0时，显然在[0，2]上f′（x）≥0，f（x）单调递增，
f_max（x）=f（2）=4e^2k，4e^2k≤1不成立．
综上所述，k的取值范围是（-∞，-ln2]．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．