Question

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示，
(Ⅰ)求证：AN∥平面MBD；
(Ⅱ)求异面直线AN与PD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求二面角M-BD-C的余弦值。

Answer 1

(Ⅰ)证明：连接AC交BD于O，连接OM， ∵底面ABCD为矩形， ∴O为AC中点，  ∵M，N为侧棱PC的三等分点， ∴CN= MN，∴OM∥AN，  ∵OM平面MBD，AN平面MBD， ∴AN∥平面MBD。
(Ⅱ)解：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz， 则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，6，0)，D(0，6，0)， P(0，0，3)，M(2，4，1)，N(1，2，2)， ， ∴， ∴异面直线AN与PD所成角的余弦值为。 (Ⅲ)解：∵侧棱PA ⊥底面ABCD， ∴平面BCD的一个法向量为=(0，0，3)， 设平面MBD的一个法向量为m=(x，y，z)，  ，并且， ∴， 令y=1，得x=2，x= -2， ∴平面MBD 的一个法刚量为m=(2，1，-2)， ∴， 由图可知二面角M- BD-C的大小是锐角， 二面角M-BD-C大小的余弦值为。