题目内容
【题目】在四棱锥中,
.
(1)设与
相交于点
,
,且
平面
,求实数
的值;
(2)若,且
,求二面角
的正弦值.
【答案】(1);(2)
【解析】分析:(1)由题意结合几何关系可得.结合线面平行的性质定理可得
.
(2)由几何关系可得平面
,故以
为坐标原点,
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系,据此可得平面
的一个法向量为
,平面
的一个法向量为
.据此可得
,则二面角
的正弦值为
.
详解:(1)因为,所以
.
因为,
平面
,平面
平面
,
所以.
所以,即
.
(2)因为,可知
为等边三角形,
所以,又
,
故,所有
.
由已知,所以
平面
,
如图,以为坐标原点,
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系,
设,则
,
所以,则
,
设平面的一个法向量为
,则有
即
设,则
,所以
,
设平面的一个法向量为
,由已知可得
即
令,则
,所以
.
所以,
设二面角的平面角为
,则
.
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