Question

如图，已知三棱锥P－ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB中点，M为PB中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC。
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（1）求证：DM∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（3）求三棱锥M－BCD的体积

Answer 1

（1）详见解析，（2）详见解析，（3）

解析试题分析：（1）证线面平行找线线平行，本题有中点条件，可利用中位线性质.即DM∥AP，写定理条件时需完整，因为若缺少DM面APC，，则DM可能在面PAC内，若缺少AP面APC，则DM与面PAC位置关系不定.（2）证面面垂直关键找线面垂直.可由面面垂直性质定理探讨，因为BC垂直AC,而AC为两平面的交线,所以应有BC垂直于平面PAC，这就是本题证明的首要目标.因为BC垂直AC,因此只需证明BC垂直平面PAC另一条直线.这又要利用线面垂直与线线垂直关系转化.首先将题目中等量关系转化为垂直条件,即DM⊥PB，从而有PA⊥PB，而PA⊥PC，所以PA⊥面PBC，因此PA⊥BC.（3）求锥的体积关键找出高，有（2）有PA⊥面PBC，因此DM为高，利用体积公式可求得
试题解析：（1）D为AB中点，M为PB中点
DM∥AP
又DM面APC，AP面APC
DM∥面PAC
（2）△PDB是正三角形，M为PB中点
DM⊥PB，又DM∥AP，PA⊥PB
又PA⊥PC，PBPC＝P，PA⊥面PBC
又BC面PBC，PA⊥BC
又∠ACB＝90°，BC⊥AC
又ACPA＝A，BC⊥面PAC
又BC面ABC,面PAC⊥面ABC
（3）AB＝20，D为AB中点，AP⊥面PBC
PD＝10
又△PDB为正三角形，DM＝5
又BC＝4，PB＝10，PC＝2
S△PBC＝

考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理，锥的体积.