题目内容

已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-（m+1）x-m-2的图象与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且OB=3OA．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，过点A的直线y=
1
2
x+
1
2
与抛物线交于点E．问：在抛物线的对称轴上是否存在这样的点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点G（x，1）在抛物线上，求出过点A、B、G的圆的圆心的坐标．
分析：解：（1）由题设条件，设A（-x0，0），B（3x0，0）（x0＞0），则x0=
m+1
2
，由A（-x0，0），知(-
m+1
2
)2-(m+1)×(-
m+1
2
)-m-2=0，由此能求出这个二次函数的解析式．
（2）由这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3，知A（-1，0），B（3，0），D（1，-4），对称轴为直线x=1．由
y=x2-2x-3
y=
1
2
x+
1
2
，得到点E的坐标为（
7
2
，
9
4
）．过点E作EH⊥x轴于H．在Rt△AEH中，可求AE=
9
4
5
，若对称轴与直线y=
1
2
x+
1
2
交于点P，P点坐标为（1，1）．由∠PAM=∠MDB，知要使得在抛物线的对称轴上存在点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似，只需要
AB
AF
=
DB
DE1
或
AB
AE
=
DF2
DB
．由此能求出符合题意的F点坐标．
（3）由点G（x，1）在抛物线上，知点G的坐标为（1±
5
，1），由A、B、G在同一圆上，知圆心一定在抛物线的对称轴上，由PA=PA=PG=
5
，知点P即为过点A、B、G的圆的圆心．
解答：解：（1）由题设条件，设A（-x0，0），B（3x0，0）（x0＞0），
则x0=
m+1
2
，
∴由A（-x0，0），知(-
m+1
2
)2-(m+1)×(-
m+1
2
)-m-2=0，
即3m2+2m-5=0，
解得m=1，或m=-
5
3
（舍）．
∴这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3．
（2）在抛物线的对称轴上存在这样的点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似．∵这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3，
∴A（-1，0），B（3，0），D（1，-4），
对称轴为直线x=1．
∵过点A的直线y=
1
2
x+
1
2
与抛物线交于点E，
∴
y=x2-2x-3
y=
1
2
x+
1
2
，
解得
x=1
y=0
或
x=
7
2
y=
9
4
，
∴点E的坐标为（
7
2
，
9
4
）．
过点E作EH⊥x轴于H
在Rt△AEH中，可求AE=
9
4
5
．
若对称轴与直线y=
1
2
x+
1
2
交于点P，
∴P点坐标为（1，1）
∵对称轴与x轴垂直，交点为点M，
∴在Rt△BMD中，可求BD=2
5
，
在Rt△APM中，tan∠PAM=
PM
AM
=
1
2
，
在Rt△BMD中，tan∠MDB=
BM
DM
=
1
2
，
∴∠PAM=∠MDB．
由题意，要使得在抛物线的对称轴上存在点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似，只需要
AB
AF
=
DB
DE1
或
AB
AE
=
DF2
DB
．

∴
4
9
5
4
=
2
5
DF1
，
解得DF1=
45
8
，
∴点F1 的坐标为（1，
13
8
）．
或
4
9
5
4
=
DF2
2
5
，
解得 DF2=
32
9
，
∴点F2 的坐标为（1，-
4
9
）．
综上，符合题意的F点坐标为F(1，-
4
9
)或F(1，
13
8
)．
（3）∵点G（x，1）在抛物线上
∴点G的坐标为（1±
5
，1），
又∵A、B、G在同一圆上
∴圆心一定在抛物线的对称轴上
∵PA=PA=PG=
5
，
∴点P即为过点A、B、G的圆的圆心
∴点P的坐标为（1，1）．
点评：本题主要考查二次函数的性质和应用，直线与圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
练习册系列答案
相关题目
已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线l1：x=-2的距离为d1，到点F（-1，0）的距离为d2，且
d2
d1
=
2
2
．
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B（点A或B不在x轴上），分别过A、B点作直线l1：x=-2的垂线，对应的垂足分别为M、N，试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；
（3）记S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FBN（A、B、M、N是（2）中的点），问是否存在实数λ，使S22=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
进一步思考问题：若上述问题中直线l1：x=-
a2
c
、点F（-c，0）、曲线C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，c=
a2-b2
)，则使等式S22=λS1S3成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断
 
 （填写“不正确”或“正确”）（限于时间，这里不需要举反例，或证明）．
已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线l1：x=-2的距离为d1，到点F（-1，0）的距离为d2，且
d2
d1
=
2
2
．
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B（点A或B不在x轴上），分别过A、B点作直线l1：x=-2的垂线，对应的垂足分别为M、N，试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；
（3）记S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FBN（A、B、M、N是（2）中的点），问是否存在实数λ，使
S
2
2
=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵M-1以及椭圆
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲线的方程．
21-2．（选修4-4：参数方程）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，
π
2
），若直线l过点P，且倾斜角为 
π
3
，圆C以M为圆心、4为半径．
（1）求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程；
（2）试判定直线l和圆C的位置关系．
[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
已知二阶矩阵A有特征值λ1=3及其对应的一个特征向量α1=
1
1
，特征值λ2=-1及其对应的一个特征向量α2=
1
-1
，求矩阵A的逆矩阵A-1．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2，6），点B的极坐标为(4，
π
2
)，直线l过点A且倾斜角为
π
4
，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
D．（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c，d都是正数，且x=
a2+b2
，y=
c2+d2
．求证：xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．
（2013•南通二模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：(x-2)2+y2=4．
（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1，C2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；
（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．

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