Question

【题目】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，，，且平面平面ABCD.

（1）求证：；

（2）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M-BC-D的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.

【解析】

(1) 过点P在面PAD内作，垂足为O，连接BO、OC，可得，再结已知条件可得是等边三角形，进而判断出四边形OBCD是正方形，从而得面POC，

得；

（2）由于面ABCD，，所以以O坐标原点建立空间直角坐标系，设，则点M的坐标为，求出平面MBC和平面ABCD的法向量，用，求出的值，从而得到的值

（1）证明：过点P在面PAD内作，垂足为O，连接BO、OC

∵面面ABCD，

∴面ABCD，∴

∵，，

∴是等边三角形，∴

又∵，

∴四边形OBCD是正方形，∴，

又，∴面POC，

又面POC，∴.

（2）∵面ABCD，，如图，建立空间直角坐标系﹐

则，，，，

假设在线段PA上存在一点M，使二面角大小为

设，，则，

所以，

∴，，

设面MBC的法向量为，

则，即，令，得，

所以，面ABCD的一个法向量为

∵二面角M-BC-D大小为，

∴

∴或（舍），

所以在线段PA上存在点M满足题设条件且.