Question

18．（理）已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）•f（y）=f（x+y）恒成立．若数列{a_n}满足a₁=f（0），且f（a_n+1）=$\frac{1}{f（-2-{a}_{n}）}$（n∈N^*），则a₂₀₁₁的值为（　　）

• A． 4018
• B． 4019
• C． 4020
• D． 4021

Answer 1

分析 由$f（{a_{n+1}}）=\frac{1}{{f（-2-{a_n}）}}$（n∈N^*），得到a_n+1=a_n+2，由等差数列的定义求得结果．

解答 解：∵f（a_n+1）=$\frac{1}{f（-2-{a}_{n}）}$（n∈N^*），
∴f（a_n+1）f（-2-a_n）=1，（n∈N^*），
∵f（x）•f（y）=f（x+y）恒成立，
∴令x=-1，y=0，则f（-1）•f（0）=f（-1），
∵当x＜0时，f（x）＞1，
∴f（-1）≠0，
则f（0）=1，
则f（a_n+1）f（-2-a_n）=1，
等价为f（a_n+1）f（-2-a_n）=f（0），
即f（a_n+1-2-a_n）=f（0），
则a_n+1-2-a_n=0，
∴a_n+1-a_n=2
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
首项a₁=f（0）=1，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
∴a₂₀₁₁=2×2011-1=4021
故选：D

点评 本题主要考查数列与函数的综合运用，根据抽象函数的关系结合等差数列的通项公式建立方程是解决本题的关键．