题目内容
已知点的序列An（xn，0），n∈N，其中x1=0，x2=a（a＞0），A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An-2An-1的中点，…．（Ⅰ）写出xn与xn-1、xx-2之间的关系式（n≥3）；
（Ⅱ）设an=xn+1-xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明；
（Ⅲ）求
．
【答案】分析：（I）根据题意，An是线段An-2An-1的中点，可得xn与xn-1、xn-2之间的关系式，
（II）由题意知a1=a，a2=-
a，a3=
a，由此推测：an=（-
）n-1a（n∈N*）再进行证明．
（III）首先求出xn，然后根据（II）知{an}是公比为
的等比数列，求出结果．
解答：解：（I）当n≥3时，
（II）a1=x2-x1=a
．
由此推测．
a（n∈N）
因为a1=a＞0，且
=
（n≥2）
所以
．
（III）解：当n≥3时，有xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x2-x1）+x1=an-1+an-2+…+a1，
由（II）知{an}是公比为
的等比数列，所以
．
点评：本题考查数列的性质和应用以及数列的极限，解题时要注意公式的灵活运用．属于中档题．
（II）由题意知a1=a，a2=-
a，a3=a，由此推测：an=（-）n-1a（n∈N*）再进行证明．（III）首先求出xn，然后根据（II）知{an}是公比为
的等比数列，求出结果．解答：解：（I）当n≥3时，
（II）a1=x2-x1=a
．由此推测．
a（n∈N）因为a1=a＞0，且
=（n≥2）所以
．（III）解：当n≥3时，有xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x2-x1）+x1=an-1+an-2+…+a1，
由（II）知{an}是公比为
的等比数列，所以．点评：本题考查数列的性质和应用以及数列的极限，解题时要注意公式的灵活运用．属于中档题．
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xn
的中点，……
、x
之间的关系式(n≥3)；
xn.
xn.