题目内容
(21)已知点的序列An(xn,0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是线段A
(Ⅰ)写出xn与x n-1、x n-2之间的关系式(n≥3);
(Ⅱ)设an=x n+1-xn,计算a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明;
(Ⅲ)求xn.
(21)本题主要考查直线与椭圆等基础知识,考查综合运用数学知识和方法分析解决问题的能力.
(Ⅰ)解:当n≥3时,xn=.
(Ⅱ)解:a1=x2-x1=a,
a2=x3-x2=-x2=-
(x2-x1)=-
a,
a3=x4-x3=-x3=-
(x3-x2)=-
(-
a)=
(a)
由此推测an=(-)n-
证法一:
因为a1=a>0,且an=xn+1-xn=-xn=
=-
(xn-xn-1)=-
an-1
(n≥2),
所以an=(-)n-1(a)
证法二:
用数学归纳法证明:
(i)当n=1时,a1=x2-x1=a=()
(ii)假设当n=k时,公式成立,即ak=()k-
那么当n=k+1时,
ak+1=xk+2-xk+1=-xk+1=-
(xk+1-xk)=-
ak=-
(-
)k-
=(-)(k+1)-
根据(i)与(ii)可知,对任意n∈N,公式an=(-)n-
(Ⅲ)解:当n≥3时,有
xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x2-x1)+x1=an-1+an-2+…+a1,
由(Ⅱ)知{an}是公比为-的等比数列,
所以xn=
(a).
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