题目内容
（21）已知点的序列An（xn，0），n∈N，其中x1=0，x2＝a（a＞0），A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段A n－2A n－1的中点，….
（Ⅰ）写出xn与x n－1、x n－2之间的关系式（n≥3）；
（Ⅱ）设an＝x n＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列｛an｝的通项公式，并加以证明；
（Ⅲ）求
xn.
（21）本题主要考查直线与椭圆等基础知识，考查综合运用数学知识和方法分析解决问题的能力.
（Ⅰ）解：当n≥3时，xn＝.
（Ⅱ）解：a1＝x2－x1＝a，
a2＝x3－x2＝
－x2＝－
（x2－x1）＝－
a，
a3＝x4－x3＝
－x3＝－
（x3－x2）＝－
（－
a）＝
（a）
由此推测an＝（－
）n－1a（n∈N）.
证法一：
因为a1＝a＞0，且
an＝xn＋1－xn＝
－xn
＝
＝－
（xn－xn－1）＝－
an－1（n≥2），
所以an＝（－
）n－1（a）
证法二：
用数学归纳法证明：
（i）当n=1时，a1=x2－x1=a=（
）0a，公式成立.
（ii）假设当n=k时，公式成立，即ak=(
)k－1a成立.
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝
－xk＋1＝－
（xk＋1－xk）
＝－
ak＝－
（－
）k－1a＝（－
）（k＋1）－1a，公式仍成立.
根据（i）与（ii）可知，对任意n∈N，公式an＝（－
）n－1a成立.
（Ⅲ）解：当n≥3时，有
xn＝（xn－xn－1）＋（xn－1－xn－2）＋…＋（x2－x1）＋x1
＝an－1＋an－2＋…＋a1，
由（Ⅱ）知｛an｝是公比为－
的等比数列，
所以
xn＝
（a）.
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xn.