Question

【题目】已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（3，t）到其焦点的距离为4．
（1）求p的值；
（2）过点Q（1，0）作两条直线l1 ， l2与抛物线分别交于点A、B和C、D，点M，N分别是线段AB和CD的中点，设直线l1 ， l2的斜率分别为k1 ， k2 ， 若k1+k2=3，求证：直线MN过定点．

Answer 1

【答案】解：（1）抛物线y2=2px的焦点为（，0），准线为x=﹣，
由抛物线的定义可得，3+=4，解得p=2；
（2）证明：由题意知，k1+k2=3，
不妨设AB的斜率k1=k，则CD的斜率k2=3﹣k，
所以AB的直线方程是：y=k（x﹣1），CD的直线方程是y=（3﹣k）（x﹣1），
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由 ，得，k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，
则x1+x2=，x1x2=1，
所以y1+y2=k（x1﹣1）+k（x2﹣1）=k（2+）﹣2k=，
因为M是AB的中点，所以点M（1+，），
同理可得，点N（1+，），
所以直线MN的方程是：y﹣=（x﹣1﹣），
化简得，y=（k﹣k2）（x﹣1）+，令x=1，得y=，
所以直线MN过定点（1，）．
【解析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得p=2；
（2）不妨设AB的斜率k1=k，求出CD的斜率k2=3﹣k，利用点斜式方程求出直线AB、CD的方程，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得中点M、N的坐标，利用点斜式方程求出直线MN的方程，化简后求出直线MN经过的定点坐标．