Question

如图，AB是⊙O的直径 ，AC是弦 ，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E.OE交AD于点F.

（Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若，求的值.

Answer 1

（Ⅰ）先证DE⊥OD  （Ⅱ）

解析试题分析：（1）连结OD，可得       
∴OD∥AE  又AE⊥DE     ∴DE⊥OD，又OD为半径，∴DE是的切线   
（2）过D作DH⊥AB于H，则有

Cos∠DOH=∠CAB=        
设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x ∴AH=8x   AD²=80x²
由△AED∽△ADB可得 AD²=AE·AB=AE·10x  ∴AE=8X       
又由△AEF∽△DOF    可得AF∶DF= AE∶OD =；∴= 
考点：切线的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
点评：本题综合考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理，角平分线定义等知识点的运用，题目较好，综合性强，有一定的难度，主要培养学生综合运用所学知识进行推理的能力．