题目内容
【题目】已知椭圆E的中心在坐标原点O,两个焦点分别为A(﹣1,0),B(1,0),一个顶点为H(2,0).
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)对于x轴上的点P(t,0),椭圆E上存在点M,使得MP⊥MH,求实数t的取值范围.
【答案】(1);(2)(﹣2,﹣1).
【解析】
试题(1)由两个焦点分别为A(﹣1,0),B(1,0),上顶点为D(2,0),得到椭圆的半长轴a,半焦距c,再求得半短轴b,
最后由椭圆的焦点在X轴上求得方程.
(2)利用向量垂直即可求得M点的横坐标x0,从而解决问题.
解:(1)由题意得,c=1,a=2,则b=
故所求的椭圆标准方程为;
(2)设M(x0,y0)(x0≠±2),则①
又由P(t,0),H(2,0).则,
由MP⊥MH可得,即(t﹣x0,﹣y0)(2﹣x0,﹣y0)=
由①②消去y0,整理得②
∵x0≠2,∴
∵﹣2<x0<2,∴﹣2<t<﹣1
故实数t的取值范围为(﹣2,﹣1).
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