题目内容
已知函数f(x)=
ax3+bx2+2x-1， g(x)=-x2+x+1，若函数f（x）与g（x）的图象的一个交点P的横坐标为1，且两曲线在点P处的切线互相垂直．
（1）求：函数h（x）=f（x）-x的单调递增区间．
（2）若对任意x1，x2∈[-1，1]，不等式f（x1）+k＜g（x2）恒成立，求：实数k的取值范围．
| 1 | 3 |
（1）求：函数h（x）=f（x）-x的单调递增区间．
（2）若对任意x1，x2∈[-1，1]，不等式f（x1）+k＜g（x2）恒成立，求：实数k的取值范围．
分析：（1）根据函数f（x）与g（x）的图象的一个交点P的横坐标为1，且两曲线在点P处的切线互相垂直．求出f（x）=-x3+x2+2x-1，再利用导数法求函数的单调递增区间．
（2）对任意x1，x2∈[-1，1]，f（x1）+k＜g（x2）恒成立?当x1，x2∈[-1，1]时，f（x1）max+k＜g（x2）min成立，利用导数法，可求最值，从而得解．
（2）对任意x1，x2∈[-1，1]，f（x1）+k＜g（x2）恒成立?当x1，x2∈[-1，1]时，f（x1）max+k＜g（x2）min成立，利用导数法，可求最值，从而得解．
解答：解：（1）由题意：g(1)=1=f(1)=
a+b+1，∴a+3b=0…①
又g′（x）=-2x+1，∴g（x）的图象在点P切线的斜率为：g′（1）=-1
又f′（x）=ax2+2bx+2，∴f（x）的图象在点P切线的斜率为：f′（1）=a+2b+2=1…②
由①②可解得：a=-3，b=1，∴f（x）=-x3+x2+2x-1，…（3分）
∴h（x）=f（x）-x=-x3+x2+x-1，∴h′（x）=-3x2+2x+1=（3x+1）（-x+1）
令h′（x）=（3x+1）（-x+1）≥0，解得：-
≤x≤1
即函数h（x）的单调递增区间为：[-
， 1]．…（6分）
（2）对任意x1，x2∈[-1，1]，f（x1）+k＜g（x2）恒成立?当x1，x2∈[-1，1]时，f（x1）max+k＜g（x2）min成立…（★） …（8分）
∵f′（x）=-3x2+2x+2，x∈[-1，1]，令f′（x）＞0，解得：
＜x＜1
∴f（x）区间[-1，
]上递减，在区间[
， 1]上递增
又f（-1）=-1，f（1）=1，
∴当x∈[-1，1]时，f（x）max=f（1）=1…（10分）
而g(x)=-x2+x+1=-(x-
)2+
，
∴当x∈[-1，1]时，g（x）min=g（-1）=-1
∴由（★）式有：1+k＜-1，
∴实数k的取值范围为：（-∞，-2）．…（12分）
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又g′（x）=-2x+1，∴g（x）的图象在点P切线的斜率为：g′（1）=-1
又f′（x）=ax2+2bx+2，∴f（x）的图象在点P切线的斜率为：f′（1）=a+2b+2=1…②
由①②可解得：a=-3，b=1，∴f（x）=-x3+x2+2x-1，…（3分）
∴h（x）=f（x）-x=-x3+x2+x-1，∴h′（x）=-3x2+2x+1=（3x+1）（-x+1）
令h′（x）=（3x+1）（-x+1）≥0，解得：-
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即函数h（x）的单调递增区间为：[-
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（2）对任意x1，x2∈[-1，1]，f（x1）+k＜g（x2）恒成立?当x1，x2∈[-1，1]时，f（x1）max+k＜g（x2）min成立…（★） …（8分）
∵f′（x）=-3x2+2x+2，x∈[-1，1]，令f′（x）＞0，解得：
1-
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∴f（x）区间[-1，
1-
| ||
| 3 |
1-
| ||
| 3 |
又f（-1）=-1，f（1）=1，
∴当x∈[-1，1]时，f（x）max=f（1）=1…（10分）
而g(x)=-x2+x+1=-(x-
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∴当x∈[-1，1]时，g（x）min=g（-1）=-1
∴由（★）式有：1+k＜-1，
∴实数k的取值范围为：（-∞，-2）．…（12分）
点评：本题以函数为载体，考查函数的解析式，考查函数的单调性，考查恒成立问题的处理，注意利用导数求函数的最值．
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