题目内容
已知函数
f(x)=ax3+bx2+2x-1, g(x)=-x2+x+1,若函数f(x)与g(x)的图象的一个交点P的横坐标为1,且两曲线在点P处的切线互相垂直.
(1)求:函数h(x)=f(x)-x的单调递增区间.
(2)若对任意x
1,x
2∈[-1,1],不等式f(x
1)+k<g(x
2)恒成立,求:实数k的取值范围.
分析:(1)根据函数f(x)与g(x)的图象的一个交点P的横坐标为1,且两曲线在点P处的切线互相垂直.求出f(x)=-x3+x2+2x-1,再利用导数法求函数的单调递增区间.
(2)对任意x1,x2∈[-1,1],f(x1)+k<g(x2)恒成立?当x1,x2∈[-1,1]时,f(x1)max+k<g(x2)min成立,利用导数法,可求最值,从而得解.
解答:解:(1)由题意:
g(1)=1=f(1)=a+b+1,∴a+3b=0…①
又g′(x)=-2x+1,∴g(x)的图象在点P切线的斜率为:g′(1)=-1
又f′(x)=ax
2+2bx+2,∴f(x)的图象在点P切线的斜率为:f′(1)=a+2b+2=1…②
由①②可解得:a=-3,b=1,∴f(x)=-x
3+x
2+2x-1,…(3分)
∴h(x)=f(x)-x=-x
3+x
2+x-1,∴h′(x)=-3x
2+2x+1=(3x+1)(-x+1)
令h′(x)=(3x+1)(-x+1)≥0,解得:
-≤x≤1即函数h(x)的单调递增区间为:
[-, 1].…(6分)
(2)对任意x
1,x
2∈[-1,1],f(x
1)+k<g(x
2)恒成立?当x
1,x
2∈[-1,1]时,f(x
1)
max+k<g(x
2)
min成立…(★) …(8分)
∵f′(x)=-3x
2+2x+2,x∈[-1,1],令f′(x)>0,解得:
<x<1∴f(x)区间
[-1,]上递减,在区间
[, 1]上递增
又f(-1)=-1,f(1)=1,
∴当x∈[-1,1]时,f(x)
max=f(1)=1…(10分)
而
g(x)=-x2+x+1=-(x-)2+,
∴当x∈[-1,1]时,g(x)
min=g(-1)=-1
∴由(★)式有:1+k<-1,
∴实数k的取值范围为:(-∞,-2).…(12分)
点评:本题以函数为载体,考查函数的解析式,考查函数的单调性,考查恒成立问题的处理,注意利用导数求函数的最值.
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