Question

已知

i

、

j

为互相垂直的单位向量，

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，且

a

与

b

的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（-∞，-2)∪(-2，

1

2

)∪(-2，

1

2

)．

Answer 1

分析：根据两个向量夹角是锐角，得到两个向量的数量积大于零且两个向量不相等，利用向量的数量积运算和

i

、

j

为互相垂直的单位向量得到不等式，解不等式，得到结果，注意去掉使得向量相等的值．

解答：解：∵

a

与

b

的夹角为锐角，
∴

a

•

b

＞0，
∵

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，
∴

a

•

b

=

i

2+（λ-2）

i

•

j

-2λ

j

2，
∵

i

、

j

为互相垂直的单位向量，
∴

a

•

b

=1-2λ＞0，
∴λ＜

1

2

，
∵

a

≠

b

，
∴λ≠-2
故答案为：（-∞，-2）∪(-2，

1

2

)

点评：向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体．