Question

已知

i

与

j

为互相垂直的单位向量，

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

且

a

与

b

的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-2）∪(-2，

  1

  2

  )
• B、（

  1

  2

  ，+∞）
• C、（-2，

  2

  3

  ）∪(

  2

  3

  ，+∞)
• D、（-∞，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，由

i

与

j

为互相垂直的单位向量，我们易得

i

2=

j

2=1，

i

•

j

=0，代入

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

可求出

a

•

b

，又由

a

与

b

的夹角为锐角，故

a

•

b

＞0，由此得到一个关于λ的不等式，解不等式即可得到实数λ的取值范围，但要注意，

a

与

b

同向的排除．

解答：解：∵

i

与

j

为互相垂直的单位向量
∴

i

2=

j

2=1，

i

•

j

=0，
又∵

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

且

a

与

b

的夹角为锐角，
∴

a

•

b

=1-2λ＞0，
但当λ=-2时，

a

=

b

，不满足要求
故满足条件的实数λ的取值范围是（-∞，-2）∪(-2，

1

2

)
故选A

点评：两个向量夹角为锐角，则两个向量的数量积为正；
两个向量夹角为钝角，则两个向量的数量积为负；
两个向量夹角为直角，则两个向量的数量积为零；