Question

在平面直角坐标系O中，直线与抛物线相交于、 两点。

（Ⅰ）求证：“如果直线过点，那么＝”是真命题；

（Ⅱ）写出（Ⅰ）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）（Ⅰ）中命题的逆命题：在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于、两点。如果 ＝，那么直线必过点。它是假命题，理由见解析。

解析:

（Ⅰ）证明：如果直线轴，则；如果直线与轴不垂直，设直线的方程为，

   。综上，“如果直线过点，那么＝”是真命题。

（Ⅱ）（Ⅰ）中命题的逆命题：在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于、两点。如果 ＝，那么直线必过点。

设直线与轴的交点坐标为，则直线方程为，把它代入得

      。

由，即直线必过点。

∴（Ⅰ）中命题的逆命题是假命题。