Question

在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点。

（1）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线=2x于点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂). 当直线l的斜率不存在时A(3,)、B(3,－)，∴当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.得ky²－2y－6k=0,则y₁y₂=－6. 又∵x₁=y₁², x₂=y₂²,

∴=x₁x₂+y₁y₂=="3." 综上所述, 命题是真命题.

（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y²=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”，假命题

【解析】

试题分析：（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线=2x于点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,)、B(3,－)，∴

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.

得ky²－2y－6k=0,则y₁y₂=－6. 又∵x₁=y₁², x₂=y₂², 

∴=x₁x₂+y₁y₂==3.

综上所述, 命题“......”是真命题.

（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y²=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”…10分，该命题是假命题.  例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,直线AB的方程为y = (x+1),而T(3,0)不在直线AB上.

考点：直线与抛物线相交问题及四种命题

点评：直线与圆锥曲线相交时，常联立方程组，整理为关于x的二次方程，利用韦达定理找到根与系数的关系，通过设而不求的方法转化所求问题；四种命题中原命题与逆否命题真假性一致，逆命题与否命题真假性一致