题目内容
【题目】已知抛物线C的焦点在y轴上,焦点到准线的距离为2,且对称轴为y轴.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)当抛物线C的焦点为时,过F作直线交抛物线于,A、B两点,若直线OA,OB(O为坐标原点)分别交直线
于M、N两点,求
的最小值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)根据抛物线的定义即可求出抛物线方程;
(2)由题意可得抛物线C的方程为,设
,
,直线AB的方程为
,联立直线与抛物线方程,利用韦达定理求得
,联立方程求得点M、N的横坐标,则
,利用换元法求最值即可得出答案.
解:(1)当焦点在y轴正半轴时,设抛物线C标准方程为,
则,所以抛物线C的方程为
,
当焦点在y轴负半轴时,设抛物线C标准方程为,
则,所以抛物线C的方程为
;
(2)依题意,抛物线C的方程为,设
,
,直线AB的方程为
,
由消去y整理可得:
,
∴,
,∴
,
由,解得点M的横坐标为
,
同理可得点N的横坐标为,
∴,
令,
,则
,
当时,
,
当时,
,
此时即
,则
,
综上:的最小值
.
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