题目内容
【题目】设函数
，
，
，
.
（1）用函数单调性的定义在在证明：函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增；
（2）若对任意满足
的实数
，都有
成立，求证：
.
【答案】详见解析
【解析】
（1）利用单调性的定义，在区间（0,1
上任取
，且
，判断
和0的大小即可,同理可证
在
1，+∞）上单调递增;
（2）由
结合条件可得
，令
，可得
在
上恒成立，令
，，利用一次函数单调性求解即可.
证明： (1)在区间（0,1上任取，且，则有
∵
，且，∴
所以
即在区间（0,1上是减函数．
同理可证在1，+∞）上单调递增
(2)∵ ，即
，又因为
，
∴ 
，即.
令，由（1）可得
，即
，
即在上恒成立
法1：令，
因为
，所以h(t)是关于t的一次函数
所以，要想恒成立
必须
，又
所以
法2：
又，所以
所以
又，所以
所以
【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年 份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝
，
＝
－
．
【题目】为了调查每天人们使用手机的时间，我校某课外兴趣小组在天府广场随机采访男性、女性用户各50 名，其中每天玩手机超过6小时的用户列为“手机控”，否则称其为“非手机控”，调查结果如下：
手机控 | 非手机控 | 合计 | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 56 | 44 | 100 |
（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“手机控”与“性别”有关？
（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取5人中“手机控”和“非手机控”的人数；
（3）从（2）中抽取的5人中再随机抽取3人，记这3人中“手机控”的人数为X，试求X的分布列与数学期望． 参考公式： 
．
参考数据：
P（K2≥k0） | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 0.456[ | 0.708 | 1.321 | 3.840 | 5.024 | 6.635 |
