Question

【题目】设函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m．
（Ⅰ）作出函数f（x）的图象；
（Ⅱ）若a2+2c2+3b2=m，求ab+2bc的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|= ， 画出图象如图，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=﹣ 时，函数f（x）取得最大值为m= ．
∵a2+2c2+3b2=m= =（a2+b2）+2（c2+b2）≥2ab+4bc，
∴ab+2bc≤ ，当且仅当a=b=c=1时，取等号，
故ab+2bc的最大值为 ．
【解析】（Ⅰ）利用分段函数，化简函数的解析式，从而作函数的图象，结合图象，求得函数的最大值m．（Ⅱ）由题意可得a2+2c2+3b2=m= =（a2+b2）+2（c2+b2），利用基本不等式求它的最值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．