题目内容
【题目】如图,三棱柱ABC﹣DEF中,侧面ABED是边长为2的菱形,且∠ABE= ,BC= ,四棱锥F﹣ABED的体积为2,点F在平面ABED内的正投影为G,且G在AE上,点M是在线段CF上,且CM= CF.
(Ⅰ)证明:直线GM∥平面DEF;
(Ⅱ)求二面角M﹣AB﹣F的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明:∵四棱锥锥F﹣ABED的体积为2, 即VF﹣ABCD= ,∴FG= .
又BC=EF= ,∴EG= ,即点G是靠近点A的四等分点.
过点G作GK∥AD交DE于点K,∴GK= .
又MF= ,∴MF=GK且MF∥GK.
四边形MFKG为平行四边形,
∴GM∥FK,
∴直线GM∥平面DEF;
(Ⅱ)设AE、BD的交点为O,OB所在直线为x轴,OE所在直线为y轴,
过点O作平面ABED的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示:
A(0,﹣1,0),B( ,0,0),F(0,﹣ , ),M( ).
, , .
设平面ABM,ABF的法向量分别为 , .
由 ,则 ,取y=﹣ ,得 ,
同理求得 .
∴cos< >= ,
∴二面角M﹣AB﹣F的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)由四棱锥锥F﹣ABED的体积为2求出FG,进一步求得EG,可得点G是靠近点A的四等分点.过点G作GK∥AD交DE于点K,可得GK= .又MF= ,得到MF=GK且MF∥GK.则四边形MFKG为平行四边形,从而得到GM∥FK,进一步得到直线GM∥平面DEF;(Ⅱ)设AE、BD的交点为O,OB所在直线为x轴,OE所在直线为y轴,点O作平面ABED的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,求出平面ABM,ABF的法向量,由两法向量所成角的余弦值得二面角M﹣AB﹣F的余弦值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.