题目内容
【题目】设函数(
),
.
(1)若曲线与
在它们的交点
处有相同的切线,求实数
,
的值;
(2)当时,若函数
在区间
内恰有两个零点,求实数a的取值范围;
(3)当,
时,求函数
在区间
上的最小值.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
试题(1)从条件“曲线与
在它们的交点
处有相同的切线”得到
以及
,从而列有关
、
的二元方程组,从而求出
与
的值;(2)将
代入函数
的解析式,利用导数分析函数
在区间
上的单调性,确定函数
在区间
上是单峰函数后,然后对函数
的端点值与峰值进行限制,列不等式组解出
的取值范围;(3)将
,
代入函数
的解析式,并求出函数
的单调区间,对函数
的极值点是否在区间
内进行分类讨论,结合函数的单调性确定函数
在区间
上的最小值.
试题解析:(1)因为,
,所以
,
.
因为曲线与
在它们的交点
处有相同切线,
所以,且
,
即,且
,解得
,
;
(2)当时,
,
所以,
令,解得
,
,
当变化时,
、
的变化情况如下表:
↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以函数的单调递增区间为
、
,单调递减区间为
.
故在区间
内单调递增,在区间
内单调递减.
从而函数在区间
内恰有两个零点,当且仅当
,
即,解得
.
所以实数的取值范围是
.
(3)当,
时,
.
所以函数的单调递增区间为
、
,单调递减区间为
.
由于,
,所以
.
①当,即
时,
;
②当时,
;
③当时,
在区间
上单调递增,
;
综上可知,函数在区间
上的最小值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关,对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:
喜好体育运动 | 不喜好体育运动 | 合计 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合计 | 50 |
已知按喜好体育运动与否,采用分层抽样法抽取容量为10的样本,则抽到喜好体育运动的人数为6.
(1)请将上面的列联表补充完整;
(2)能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关?说明理由.
附:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【题目】为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量,随机抽取20台,其无故障连续使用时限(单位:h)统计如下:
分组 | 频数 | 频率 | 频率/组距 |
1 | 0.05 | 0.0025 | |
1 | 0.05 | 0.0025 | |
2 | 0.10 | 0.0050 | |
3 | 0.15 | 0.0075 | |
4 | 0.20 | 0.0100 | |
6 | 0.30 | 0.0150 | |
2 | 0.10 | 0.0050 | |
1 | 0.05 | 0.0025 | |
合计 | 20 | 1 | 0.050 |
(1)作出频率分布直方图;
(2)估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280h的有多少台;
(3)假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替,估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限.
【题目】某校高三年级有500名学生,为了了解数学学科的学习情况,现随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩(满分150分),制成如下频率分布表:
分组 | 频数 | 频率 |
① | ② | |
0.050 | ||
0.200 | ||
12 | 0.300 | |
0.275 | ||
4 | ③ | |
0.050 | ||
合计 | ④ |
(1)①②③④处应分别填什么?
(2)根据频率分布表完成频率分布直方图.
(3)试估计该校高三年级在这次测试中数学成绩的平均分.