Question

10．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=a-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=a+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²cos2θ=3，设其离心率为e，若直线l经过点（e，e），则常数a=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先把直线l的参数方程转化成直角坐标方程，进一步把曲线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步求出双曲线的离心率，最后求出结果．

解答 解：直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=a-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=a+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），换化成直角坐标方程为：x+y-2a=0．
曲线C的极坐标方程为ρ²cos2θ=3，
转化为：2（ρcosθ）²-ρ²=3，
转化成直角坐标方程为：x²-y²=3
所以：双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，
直线l经过点（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
代入直线方程解得：a=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$

点评 本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，等轴双曲线的离心率的应用．