Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a₂=1，b_n=nS_n+（n+2）a_n，数列{b_n}是公差为d的等差数列，n∈N^*．
（1）求d的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：(a1a2…an)•(S1S2…Sn)＜

22n+1

(n+1)(n+2)

．

Answer 1

分析：（1）根据a₁=a₂=1，b_n=nS_n+（n+2）a_n，求出数列{b_n}的前两项，即可求得数列的公差；
（2）先求数列{b_n}的通项公式，进而再利用条件，两式相减，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（3）先利用基本不等式，得出0＜anSn≤4•

n

n+2

，进而相乘，即可证明．

解答：解：（1）∵a₁=a₂=1，b_n=nS_n+（n+2）a_n，
∴b₁=S₁+3a₁，b₂=2S₂+4a₂，
∴d=b₂-b₁=4
（2）∵数列{b_n}是公差为4的等差数列，b₁=4
∴b_n=4n
∵b_n=nS_n+（n+2）a_n，
∴4n=nS_n+（n+2）a_n，
∴Sn+

n+2

n

an=4①
当n≥2时，Sn-1+

n+1

n-1

an-1=4②
①-②：Sn-Sn-1+

n+2

n

an-

n+1

n-1

an-1=0
∴an+

n+2

n

an-

n+1

n-1

an-1=0
∴

an

an-1

=

1

2

•

n

n-1

∴

an

a1

=

an

an-1

× 

an-1

an-2

×…

a2

a1

=

1

2n-1

•n
∵a₁=1，∴an=

n

2n-1

（3）∵Sn+

n+2

n

an=4，an＞0，Sn＞0
∴

Sn× n+2 n an

≤

Sn+ n+2 n an

2

=2
∴0＜anSn≤4•

n

n+2

∴(a1a2…an)•(S1S2…Sn)≤

22n+1

(n+1)(n+2)

③
∵n=1，Sn≠

n+2

n

an
∴等号不成立
∴(a1a2…an)•(S1S2…Sn)＜

22n+1

(n+1)(n+2)

点评：本题重点考查数列的通项，考查不等式的证明，解题的关键是挖掘数列的通项与前n项和的关系．