题目内容
【题目】在四棱锥P–ABCD中,,.
(1)设AC与BD相交于点M,,且平面PCD,求实数m的值;
(2)若,,,且,求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)由AB∥CD,得到,由MN∥平面PCD,得MN∥PC,从而,由此能实数m的值;
(2)由AB=AD,∠BAD=60°,知△ABD为等边三角形,推导出PD⊥DB,PD⊥AD,从而PD⊥平面ABCD,以D为坐标原点,的方向为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系,由此能求出二面角B﹣PC﹣B的余弦值.
解:(1)因为,所以,即.
因为平面PCD,平面PAC,平面平面,
所以.
所以,即.
(2)因为,,可知为等边三角形,
所以,又,
故,所以.
由已知,,所以平面ABCD,
如图,以D为坐标原点,的方向为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系,
设,则,,
所以,,,,
则,,
设平面PBC的一个法向量为,则有
即.
令,则,即,
设平面APC的一个法向量为,则有
,即
令,则,即.
所以
设二面角的平面角为,则.
【题目】据报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注,为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了3600人进行调查,就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计,结果如下表:
态度 调查人群 | 应该取消 | 应该保留 | 无所谓 |
在校学生 | 2100人 | 120人 | 人 |
社会人士 | 600人 | 人 | 人 |
(1)已知在全体样本中随机抽取人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为,现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取人进行问卷访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?
(2)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取人,再平均分成两组进行深入交流,求第一组中在校学生人数的分布列和数学期望.