题目内容
已知函数f(x)=4sin2(
+x)-2
cos2x-1,且给定条件P:“
≤x≤
”.
(Ⅰ)求f(x)的最大值及最小值;
(Ⅱ)若又给条件q:“|f(x)-m|>2”,且p是?q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
π |
4 |
3 |
π |
6 |
π |
4 |
(Ⅰ)求f(x)的最大值及最小值;
(Ⅱ)若又给条件q:“|f(x)-m|>2”,且p是?q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
分析:(Ⅰ)利用三角函数中的恒等变换可求得f(x)=4sin(2x-
)+1,再由
≤x≤
⇒0≤2x-
≤
,利用正弦函数的性质可求f(x)的最大值及最小值;
(Ⅱ)依题意,利用p是?q的充分不必要条件可得不等式组
,解之即可.
π |
3 |
π |
6 |
π |
4 |
π |
3 |
π |
6 |
(Ⅱ)依题意,利用p是?q的充分不必要条件可得不等式组
|
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=4sin2(
+x)-2
cos2x-1
=2[1-cos(
+2x)]-2
cos2x-1
=2sin2x-2
cos2x+1
=4sin(2x-
)+1,
∵
≤x≤
,
∴0≤2x-
≤
,
∴0≤sin(2x-
)≤
,1≤4sin(2x-
)+1≤3,
∴[f(x)]min=1,[f(x)]max=3.
(Ⅱ)∵|f(x)-m|>2,
∴f(x)<m-2或f(x)>m+2,
故¬q:m-2≤f(x)≤m+2,
又p是?q的充分不必要条件,
∴p⇒¬q,¬q不能⇒p,
即
,解得1≤m≤3.
∴实数m的取值范围是[1,3].
π |
4 |
3 |
=2[1-cos(
π |
2 |
3 |
=2sin2x-2
3 |
=4sin(2x-
π |
3 |
∵
π |
6 |
π |
4 |
∴0≤2x-
π |
3 |
π |
6 |
∴0≤sin(2x-
π |
3 |
1 |
2 |
π |
3 |
∴[f(x)]min=1,[f(x)]max=3.
(Ⅱ)∵|f(x)-m|>2,
∴f(x)<m-2或f(x)>m+2,
故¬q:m-2≤f(x)≤m+2,
又p是?q的充分不必要条件,
∴p⇒¬q,¬q不能⇒p,
即
|
∴实数m的取值范围是[1,3].
点评:本题考查三角函数中的恒等变换,着重考查二倍角的正弦与余弦及辅助角公式的应用,突出必要条件、充分条件的判断与应用,属于中档题.

练习册系列答案
相关题目