题目内容

已知函数f(x)=4sin2
π
4
+x)-2
3
cos2x-1,且给定条件P:“
π
6
≤x≤
π
4
”.
(Ⅰ)求f(x)的最大值及最小值;
(Ⅱ)若又给条件q:“|f(x)-m|>2”,且p是?q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
分析:(Ⅰ)利用三角函数中的恒等变换可求得f(x)=4sin(2x-
π
3
)+1,再由
π
6
≤x≤
π
4
⇒0≤2x-
π
3
π
6
,利用正弦函数的性质可求f(x)的最大值及最小值;
(Ⅱ)依题意,利用p是?q的充分不必要条件可得不等式组
m-2≤1
m+2≥3
,解之即可.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=4sin2
π
4
+x)-2
3
cos2x-1
=2[1-cos(
π
2
+2x)]-2
3
cos2x-1
=2sin2x-2
3
cos2x+1
=4sin(2x-
π
3
)+1,
π
6
≤x≤
π
4

∴0≤2x-
π
3
π
6

∴0≤sin(2x-
π
3
)≤
1
2
,1≤4sin(2x-
π
3
)+1≤3,
∴[f(x)]min=1,[f(x)]max=3.
(Ⅱ)∵|f(x)-m|>2,
∴f(x)<m-2或f(x)>m+2,
故¬q:m-2≤f(x)≤m+2,
又p是?q的充分不必要条件,
∴p⇒¬q,¬q不能⇒p,
m-2≤1
m+2≥3
,解得1≤m≤3.
∴实数m的取值范围是[1,3].
点评:本题考查三角函数中的恒等变换,着重考查二倍角的正弦与余弦及辅助角公式的应用,突出必要条件、充分条件的判断与应用,属于中档题.
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