Question

（本小题满分12分）已知圆C:,直线L:
(1) 证明:无论取什么实数，L与圆恒交于两点；
(2) 求直线被圆C截得的弦长最小时直线L的斜截式方程.

Answer 1

（1）见解析；（2）y=2x-5.

试题分析：(1)将L的方程整理为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)=0
由得  ∴直线L经过定点A(3,1)
∵(3－1)+(1－2)=5<25 ∴点A在圆C的内部,故直线L与圆恒有两个交点
(2)圆心M(1,2)，当截得弦长最小时,则L⊥AM,由k=得
L的方程为y－1=2(x－3) ，即y=2x-5.
点评：熟练求出直线系方程所过定点是解本题的关键。
（1）平行直线系：与Ax＋By＋C＝0平行的直线为：Ax＋By＋C₁＝0(C₁≠C)。
（2）垂直直线系：与Ax＋By＋C＝0垂直的直线为：Bx－Ay＋C₁＝0。
（3）定点直线系：若：＝0和：＝0相交，则过与交点的直线系为＋λ()＝0。