题目内容
【题目】若、
是异面直线,则下列命题中的假命题为( )
A.过直线可以作一个平面并且只可以作一个平面
与直线
平行
B.过直线至多可以作一个平面
与直线
垂直
C.唯一存在一个平面与直线
、
等距
D.可能存在平面与直线
、
都垂直
【答案】D
【解析】
在A中,把直线平移与直线
相交,确定一个平面内平行于
;在B中,反设过直线
能作平面
、
使得
、
,推出矛盾;在C中,过异面直线
、
的公垂线段的中点作与该公垂线垂直的平面可满足条件;在D中,若存在平面
与直线
、
都垂直,则
.
在A中,由于、
是异面直线,把直线
平移与直线
相交,可确定一个平面,这个平面与直线
平行,A选项正确;
在B中,若过直线能作平面
、
使得
、
,则
,这与
矛盾,
所以,过直线最多只能作一个平面
与直线
垂直,由
,可得
,
当直线与
不垂直时,过直线
不能作平面与直线
垂直,B选项正确;
在C中,由于、
是异面直线,则两直线的公垂线段只有一条,过该公垂线段的中点作平面
与该公垂线垂直,这样的平面
有且只有一个,且这个平面
与直线
、
等距,C选项正确;
在D中,若存在平面与直线
、
都垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得
,D错误.
故选:D.
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