Question

已知函数f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）如果x∈[1，4]，求函数h（x）=（f（x）+1）g（x）的值域；
（2）求函数M（x）=

f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|

2

的最大值；
（3）如果不等式f（x²）f（

x

）＞kg（x）对x∈[2，4]有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）写出h（x）的表达式，借助的二次函数的性质即可求得函数h（x）的值域；
（2）先比较f（x）与g（x）的大小，然后把M（x）化为分段函数，分别求出各段上M（x）的最大值，取其较大者即可；
（3）通过换元，令t=log₂x，则不等式可变为关于k、t的不等式，分离出参数k后转化为求函数的最大值处理即可；

解答：解（1）h（x）=（4-2log₂x）•log₂x=-(log2x-1)2+2，
∵x∈[1，4]，∴log₂x∈[0，2]，
∴h（x）的值域为[0，2]；
（2）f（x）-g（x）=3（1-log₂x），
当x＞2时，f（x）＜g（x）；当0＜x≤2时，f（x）≥g（x），
∴M（x）=

g(x)，f(x)≥g(x) f(x)，f(x)＜g(x)

=

log2x，0＜x≤2 3-2log2x，x＞2

，
当0＜x≤2时，M（x）的最大值为1；
当x＞2时，M（x）＜1，；
综上，当x=2时，M（x）取到最大值为1．
（3）由f（x²）f（

x

）＞kg（x），得（3-4log₂x）（3-log₂x）＞klog₂x，
令t=log₂x，∵x∈[2，4]，∴t∈[1，2]，
∴存在t∈[1，2]使（3-4t）（3-t）＞kt，即k＜

(3-4t)(3-t)

t

=4t+

9

t

-15成立，
记h（t）=4t+

9

t

-15，则k＜h（t）_max，
而h（t）在[1，

3

2

]上递减，在[

3

2

，2]上递增，所以h（t）_max=h（1）=-2，
所以k＜-2．

点评：本题考查函数的值域、分段函数的最值、不等式等知识，解决（3）问的关键是正确理解题意并准确转化为函数最值．