Question

3．若向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$满足$|\overrightarrow a|=\sqrt{2}，|\overrightarrow b|=2$，$（\overrightarrow a-\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$．则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角等于45°；$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根据已知条件即得$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=0$，所以得到${\overrightarrow{a}}^{2}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，所以得到cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以得出向量$\overrightarrow{a}与\overrightarrow{b}$的夹角为45°，而$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}}=\sqrt{10}$．

解答 解：$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{a}$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=0$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$；
∴带入$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}，|\overrightarrow{b}|=2$即得：cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为45°；
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}=\sqrt{2+4+4}=\sqrt{10}$．
故答案为：45°，$\sqrt{10}$．

点评 考查两非零向量垂直的充要条件，数量积的计算公式，向量夹角的定义，以及求向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$长度的方法：$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$．