题目内容
【题目】如图所示，在四棱锥
中，底面ABCD为直角梯形，
，
，
，点E为AD的中点，
，
平面ABCD，且
（1）求证：
；
（2）线段PC上是否存在一点F，使二面角
的余弦值是
？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见证明；（2）见解析
【解析】
（1）由题意，证得
，再由线面垂直的性质，证得
，利用线面垂直的判定定理，即可证得
平面PEC，进而得到
．
（2）由（1）建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，由
与
共线，得
，再求得平面CPD和平面CPD的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解.
证明：（1）∵
，
，
∴
，
，
E为AD的中点，
，
≌
，
，
，
，
，
平面ABCD，
平面ABCD，
，
又
，且PH，
平面PEC，
平面PEC，
又
平面PEC，
．
解：(2)由(1)可知
∽
，
由题意得
，
，
，
，
，
，
，
、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，
，
，
，
，
，
假设线段PC上存在一点F满足题意，
与共线，
∴存在唯一实数
，
，满足
，解得，
设向量
为平面CPD的一个法向量，
且
，
，
∴
，取
，得
，
同理得平面CPD的一个法向量
，
∵二面角
的余弦值是
，
∴
，
由
，解得
练习册系列答案
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，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（ ）
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 |
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 |
A. 05 B. 09 C. 07 D. 20
