题目内容
【题目】关于函数,下列命题中所有正确结论的序号是______.
①其图象关于轴对称; ②当
时,
是增函数;当
时,
是减函数;
③的最小值是
; ④
在区间
上是增函数;
【答案】①③④
【解析】
对于①先求函数的定义域,然后通过判断
与
的关系,可以确定其为偶函数,①正确;对于②③④,先通过定义法求单调性,求出
的单调区间,进而利用复合函数单调性求出
的单调区间,即可求出
的最小值,可以确定②错误,③④正确。
函数,定义域为
,定义域关于原点对称,
,所以函数
是偶函数,图象关于
轴对称,故①正确;
令,
函数在
上单调递减,证明如下:
任取,
,且
,
则,
因为,
,所以
,
而,
,
所以,
故函数在
上单调递减。
同理可以证明函数在
上单调递增,
又因为在
单调递增,
利用复合函数单调性可知,在
上单调递减,在
上单调递增。
由于函数是偶函数,可知
在
上单调递增,在
上单调递减。
的最小值为
.
所以②错误,③④正确。
综上正确的结论是①③④.

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