Question

16．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线${x^2}=4\sqrt{3}y$的准线，且经过点$P（-1，\frac{3}{2}）$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l的方程为x=-4．AB是经过椭圆左焦点F的任一弦，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃．试探索k₁，k₂，k₃之间有怎样的关系式？给出证明过程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设C方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，利用顶点恰好经过抛物线${x^2}=4\sqrt{3}y$的准线，求出b，根据椭圆经过点$P（-1，\frac{3}{2}）$，求出a，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，利用韦达定理，结合斜率公式，即可探索k₁，k₂，k₃之间的关系式．

解答 解：（Ⅰ）设C方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
∵抛物线${x^2}=4\sqrt{3}y$的准线$y=-\sqrt{3}$，∴$b=\sqrt{3}$…（1分）
由$P（-1，\frac{3}{2}）$点在椭圆上，∴$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{4×3}=1$，∴a²=4…（3分）
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）由题意知，直线斜率存在．
∵F（-1，0），∴设直线AB的方程为y=k（x+1），
代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，…（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理得${x_1}+{x_2}=\frac{{-8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$．…（6分）
由题意知M（-4，-3k），${k_1}=\frac{{{y_1}-\frac{3}{2}}}{{{x_1}+1}}，{k_2}=\frac{{{y_2}-\frac{3}{2}}}{{{x_2}+1}}，{k_3}=\frac{{\frac{3}{2}+3k}}{-1+4}=k+\frac{1}{2}$…（8分）
∵y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），代人k₁，k₂得${k_1}=k-\frac{3}{2}（\frac{1}{{{x_1}+1}}），{k_2}=k-\frac{3}{2}（\frac{1}{{{x_2}+1}}）$，
∴${k_1}+{k_2}=2k-\frac{3}{2}（\frac{1}{{{x_1}+1}}+\frac{1}{{{x_2}+1}}）=2k-\frac{3}{2}\frac{{{x_1}+{x_2}+2}}{{{x_1}{x_2}+（{x_1}+{x_2}）+1}}$…（10分）
=$2k-\frac{3}{2}\frac{{\frac{{-8{k^2}+8{k^2}+6}}{{4{k^2}+3}}}}{{\frac{{4{k^2}-12-8{k^2}+4{k^2}+3}}{{4{k^2}+3}}}}=2k+1$…（12分）
∴k₁+k₂=2k₃…（13分）

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能解答出．