题目内容

3.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,P分别为AB1,BC1,DD1的中点,给出下列结论:
①异面直线AB1,BC1所成的角为$\frac{π}{3}$
②MN∥平面ABCD
③四面体A-A1B1N的体积为$\frac{1}{4}$
④MN⊥BP
则正确结论的序号为①②④.

分析 根据正方体的性质,以及异面直线所成的角,得到异面直线AB1,BC1所成的角即为AD1与AB1所成的角,即可判断①,根据线面平行的判断定理即可判断②,根据正方体的体积为1,${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}N}$=$\frac{1}{4}$${S}_{四边形{A}_{1}DC{B}_{1}}$,即可求出四面体A-A1B1N的体积,根据线面垂直得到线线垂直,即可判断④.

解答 解:如图所示
对于①连接AD1,B1D1,则BC1∥AD1,则异面直线AB1,BC1所成的角即为AD1与AB1所成的角,因为AD1=B1D1=AB1,所以异面直线AB1,BC1所成的角为$\frac{π}{3}$,故①正确;
对于②连接B1C,则交BC1与N,所以MN是三角形B1AC的中位线,所以MN∥AC,所以MN∥平面ABCD,故②正确;
对于③,连接A1D,AN,A1N,因为确;${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}N}$=$\frac{1}{4}$${S}_{四边形{A}_{1}DC{B}_{1}}$,所以四面体A-A1B1N的体积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$×1=$\frac{1}{8}$;故③错误;
对于④,连接BO,因为AC⊥平面BB1D1D,所以MN⊥平面BB1D1D,又因为BP?平面BB1D1D,所以MN⊥BP
故④正确.
故答案为:①②④

点评 本题给出正方体模型,判断关于异面直线所成角的几个命题的真假性,着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的求法等知识,属于中档题.

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