题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，
，
分别是其左、右焦点，且过点
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）求
的外接圆的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据椭圆的几何性质列出方程，求得
的值，即可求得椭圆的标准方程；
（2）由（1）得，
，
的坐标，得到
的外接圆的圆心一定在
轴上，设的外接圆的圆心为
，半径为
，圆心的坐标为
，根据
及两点间的距离公式，列出方程，解得
，从而确定圆心坐标和半径，即可求解.
（1）因为椭圆
的离心率为
，所以
. ①
又椭圆过点
，所以代入得
. ②
又
， ③
由①②③，解得
.
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）得，，的坐标分别是
，
因为的外接圆的圆心一定在边
的垂直平分线上，
即的外接圆的圆心一定在轴上，
所以可设的外接圆的圆心为，半径为，圆心的坐标为，
则由及两点间的距离公式，得
，
即
，化简得
，解得，
所以圆心的坐标为
，半径
，
所以的外接圆的方程为
，即.
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