题目内容
【题目】是自然对数的底数,已知函数
,
.
(1)求函数的最小值;
(2)函数在
上能否恰有两个零点?证明你的结论.
【答案】(1)(2)能够恰有两个零点,证明见解析
【解析】
(1)先求导数,再求极值。然后可得最小值;
(2)结合零点存在定理进行判定.
(1)求导,由
,得
.列表如下:
+ | 0 | 0 | + | ||
单调递增 | 有极大值 | 单调递减 | 有极小值 | 单调递增 |
知为极大值,
为极小值.
又因为当且仅当
时,
,并且在区间
上
为减函数,在区间
上
为增函数,
故在
上的最小值为
.
(2)函数在
上能够恰有两个零点;
证明如下:由,知
是一个零点.
又由(1)知,是函数的一个极大值,
在单调区间
和
都不会再有零点了.
考虑单调区间,由
,
,
可见,函数在单调区间
恰有一个零点.所以,函数
在
上恰有两个零点.
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