题目内容

如图所示:用篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 ,假设墙有足够长.

(Ⅰ) 若篱笆的总长为,则这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大?
(Ⅱ) 若菜园的面积为,则这个矩形的长,宽各为多少时,篱笆的总长最短?
(Ⅰ) 矩形的长为,宽为时,菜园的面积最大 (Ⅱ) 矩形的长为、宽为时,可使篱笆的总长最短

试题分析:设这个矩形的长为,宽为,篱笆的长为,面积为
(Ⅰ) 由题知,由于
,即,当且仅当时等号成立.

故这个矩形的长为,宽为时,菜园的面积最大.
(Ⅱ) 条件知.
,当且仅当时等号成立.
 
故这个矩形的长为、宽为时,可使篱笆的总长最短.
点评:利用均值不等式求最值时要注意其满足的三个条件:一,都是正数,二,积为定值时和取得最值,和为定值时积为定值,三,等号成立的条件看是否满足
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