Question

设函数f(x)=

log	1-mx x-1 a

为奇函数，g（x）=f（x）+log_a^{（x-1）（ax+1）}（ a＞1，且m≠1）．
（1）求m值；
（2）求g（x）的定义域；
（3）若g（x）在[-

5

2

，-

3

2

]上恒正，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）为奇函数可知f（x）=-f（-x），把f（x）的解析式代入即可求得m．
（2）由（1）可得f（x）的解析式，进而根据g（x）=f（x）+log_a^{（x-1）（ax+1）}可得g（x）的解析式，根据对数的真数需大于0，进而可得x的范围．
（3）根据g（x）在[-

5

2

，-

3

2

]上恒成立，对于g（x）的解析式只需（x+1）（ax+1）＞1，进而根据x的范围求得a的范围．

解答：解：（1）f(x)是奇函数，f(x)=-f(-x)=-loga

1+mx

-x-1

=loga

-x-1

1+mx

∴

1-mx

x-1

=

-x-1

1+mx

，x2-1=(mx)2-1
∴（m²-1）x²=0，又m≠1
∴m=-1；
（2）由(1)f(x)=loga

x+1

x-1

，g(x)=loga

x+1

x-1

+loga[(x-1)(ax+1)]
x必须满足

(x-1)(ax+)＞0 (x+1)(x-1)＞0

∴x＜-1或x＞1(a＞1，-

1

a

＞-1)
∴g（x）的定义域为{x：x＜-1或x＞1}
（3）∵a＞1，g（x）在[-

5

2

，-

3

2

]上恒正，
即（x+1）（ax+1）＞1
∴ax+1＜

1

x+1

∴ax＜-

x

x+1

∴a＞-

1

x+1

∵x∈[-

5

2

，-

3

2

]∴-

1

x+1

≤-

1

(- 3 2 )+1

=2∴a＞2
∴a的取值范围是（2，+∞）．

点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用．函数的奇偶性，单调性，定义域和值域都是考试常考的内容．