Question

1．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，E为AA₁的中点，F为BB₁的中点，面D₁EB与底面ABCD所成角为arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求面D₁FC与底面ABCD所成角的大小；
（2）求点B₁到面D₁EB的距离．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由面D₁EB与底面ABCD所成角为arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求出DD₁的长，由此能求出面D₁FC与底面ABCD所成角的平面角的大小．
（2）求出面D₁EB的法向量和$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，$\sqrt{2}$），由此利用向量法能求出点B₁到面D₁EB的距离．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设DD₁=2t（t＞0），则B（2，2，0），E（2，t，0），D₁（0，0，2t），F（2，2，t），C（0，2，0），
$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（2，t，-2t），$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=（2，2，-2t），
D₁EB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}E}=2x+ty-2tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}B}=2x+2y-2tz=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\frac{1}{t}$），
又平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵面D₁EB与底面ABCD所成角为arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}$|=$\frac{\frac{1}{t}}{\sqrt{1+\frac{1}{{t}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（2，2，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{{D}_{1}C}$=（0，2，-$\sqrt{2}$），
设平面D₁FC的法向量为$\overrightarrow{p}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{{D}_{1}F}=2a+2b-\frac{\sqrt{2}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{{D}_{1}C}=2b-\sqrt{2}c=0}\end{array}\right.$，取c=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{p}$=（-$\frac{1}{2}$，1，$\sqrt{2}$），
设面D₁FC与底面ABCD所成角的平面角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{p}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{p}|•|\overrightarrow{m}|}$|=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+2}}$=$\frac{2\sqrt{26}}{13}$．
∴面D₁FC与底面ABCD所成角的大小为$\frac{2\sqrt{26}}{13}$．
（2）∵面D₁EB的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，$\sqrt{2}$），
∴点B₁到面D₁EB的距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查二面角的大小的求法，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．