Question

（本小题满分13分）

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准

（I）已知甲厂产品的等级系数X₁的概率分布列如下所示：

	5	6	7	8
P	0．4	a	b	0．1

且X₁的数字期望EX₁=6，求a，b的值；

（II）为分析乙厂产品的等级系数X₂，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

             3   5   3   3   8   5   5   6   3   4

             6   3   4   7   5   3   4   8   5   3

8   3   4   3   4   4   7   5   6   7

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X₂的数学期望．

   （III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．

注：（1）产品的“性价比”=；

      （2）“性价比”大的产品更具可购买性．

Answer 1

本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。

解：（I）因为

又由X₁的概率分布列得

由

（II）由已知得，样本的频率分布表如下：

	3	4	5	6	7	8
	0．3	0．2	0．2	0．1	0．1	0．1

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X₂的概率分布列如下：

	3	4	5	6	7	8
P	0．3	0．2	0．2	0．1	0．1	0．1

所以

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.

（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：

因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为

因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为

据此，乙厂的产品更具可购买性。