Question

在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=b₁=1，b₄=8，{a_n}的前10项和S₁₀=55．
（Ⅰ）求a_n和b_n；
（Ⅱ）已知c_n=a_n+b_n求c_n的前n项之和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据条件求出公差和公比，即可求出通项；
（Ⅱ）由a_n=n，b_n=2^n-1，c_n=a_n+b_n=n+2^n-1，知{c_n}前n项之和T_n=（1+2+3+…+n）+（1+2+4+…+2^n-1），由此能求出结果．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
∵a₁=b₁=1，b₄=8，{a_n}的前10项和S₁₀=55．
∴S₁₀=10+

10×9

2

d=55；b₄=q³=8；
解得：d=1，q=2．
所以：a_n=n，b_n=2^n-1．
（Ⅱ）∵a_n=n，b_n=2^n-1，∴c_n=a_n+b_n=n+2^n-1，
∴{c_n}前n项之和T_n=（1+2+3+…+n）+（1+2+4+…+2^n-1）
=

n(n+1)

2

+

1-2n

1-2

=

n(n+1)

2

+2n-1．

点评：本题主要考察等差数列等比数列的性质及应用，考察运算能力，化归与转化思想．是对基础知识的综合考察，属于中档题目．