Question

在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=b₁=1，b₄=8，{a_n}的前10项和S₁₀=55．
（1）求a_n和b_n；
（2）现分别从{a_n}和{b_n}的前3项中各随机抽取一项，求这两项的值相等的概率；
（3）设{a_nb_n}的前n和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）先根据条件求出公差和公比，即可求出通项；
（2）先根据第一问的结果把基本事件都写出来，再找到满足要求的即可求出结论．
（3）利用错位相减法可求得T_n．

解答：解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
由题得：S₁₀=10+

10×9

2

d=55；b₄=q³=8；
解得：d=1，q=2．
∴a_n=n，b_n=2^n-1．
（2）分别从从{a_n}和{b_n}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：
（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，2），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4）．
两项的值相等的有（1，1），（2，2）．
∴这两项的值相等的概率：

2

9

．
（3）a_nb_n=n•2^n-1，
则T_n=1+2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1①，
2T_n=2+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ②，
①-②，得-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n═（n-1）•2ⁿ+1．

点评：本题主要考察等差数列、等比数列、数列求和及古典概型等基础知识，考察运算求解能力、方程思想．是对基础知识的综合考察，属于中档题目．利用错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．