题目内容

【题目】已知函数(其中为自然对数的底数,).

(1)若仅有一个极值点,求的取值范围;

(2)证明:当时,有两个零点,且

【答案】(1);(2)证明过程见解析.

【解析】

试题分析:(1)求出函数的导函数,转化不等式,再通过的大小讨论即可求的取值范围;(2)通过的范围及的零点个数,即可确定函数恒成立的条件,通过构造函数的方法,转化成利用导函数求恒成立问题.

试题解析:(1)

得到 (*)

由于仅有一个极值点,

关于的方程(*)必无解,

①当时,(*)无解,符合题意,

②当时,由(*)得,故由

由于这两种情况都有,当时,,于是为减函数,当时,,于是为增函数,∴仅的极值点,综上可得的取值范围是

(2)由(1)当时,的极小值点,

又∵对于恒成立,

对于恒成立,

对于恒成立,

∴当时,有一个零点,当时,有另一个零点

,(#)

所以

下面再证明,即证

由于为减函数,

于是只需证明

也就是证明

借助(#)代换可得

,

的减函数,且

恒成立,

于是的减函数,即

,这就证明了,综上所述,

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