题目内容

设F1，F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0，O为坐标原点，且|
PF1
|=
3
|
PF2
|，则该双曲线的离心率为______．
取PF2的中点A，则
∵(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0，
∴2
OA
•
F2P
=0，
∴
OA
⊥
F2P
，
∵OA是△PF1F2的中位线，
∴PF1⊥PF2，OA=
1
2
PF1．
由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，
∵|PF1|=
3
|PF2|，
∴|PF2|=
2a
3
-1
，|PF1|=
2
3
a
3
-1
．
△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，
∴（
2a
3
-1
）2+（
2
3
a
3
-1
）2=4c2，
∴e=
3
+1．
故答案为：
3
+1．
练习册系列答案
相关题目
下列命题正确的是______
①动点M至两定点A、B的距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）．则动点M的轨迹是圆．
②椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，则b=c(c为半焦距）．
③双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为b．
④知抛物线y2=2px上两点A（x1，y1），B（x2，y2）且OA⊥OB（O为原点），则y1y2=-p2．
A．②③④B．①④C．①②③D．①③
过双曲线
x2
4
-
y2
3
=1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|+|NF2|-|MN|的值为（　　）
A．0B．4C．8D．2
过双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B．若∠AOB=120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为 ______．
已知点F是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦点，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）
A．（1，2）B．（1，3）C．（1，1+
2
）		D．（2，1+
2
）
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)与椭圆
x2
9
+
y2
5
=1有公共焦点，右焦点为F，且两支曲线在第一象限的交点为P，若|PF|=2，则双曲线的离心率为（　　）
A．5B．
3
C．
1
2
D．2
已知A（4，3），且P是双曲线x2-y2=2上一点，F2为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF2|的最小值是______．
若方程C：x2+
y2
a
=1（a是常数）则下列结论正确的是（　　）
A．?a∈R+，方程C表示椭圆
B．?a∈R-，方程C表示双曲线
C．?a∈R-，方程C表示椭圆
D．?a∈R，方程C表示抛物线
已知点A(-
3
，0)和B(
3
，0)，动点C与A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的长．

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